Bộ lọc Kalman

[falleaf]

4.3. Hàm phân bố xác suất

Gọi hàm phân bố xác suất là F_X(theta), thì hàm phân bố xác suất được định nghĩa như sau:

F_X(theta) = Prob[X<= theta] (ký hiệu <= : nhỏ hơn hoặc bằng)

Để tiện theo dõi về sau, tôi sẽ sử dụng cách viết bằng latex giả. Bởi vì một số bạn không biết latex, cho nên tôi sẽ viết mã giả latex bằng tiếng Việt.

Vd: tôi sẽ viết \nhbằng, thì có nghĩa là nhỏ hơn hoặc bằng. Và từ đây tôi sẽ giúp các bạn làm quen với kiểu viết latex, xem ra cũng hay hay.

Các bạn lưu ý, trong latex sử dụng ký tự \ để bắt đầu một lệnh hoặc một ký tự đặc biệt nào đó. Vì vậy, nếu viết theta, thì nó sẽ hiện ra chứ theta. Nhưng nếu viết \theta thì nó sẽ hiện ra ký tự "theta" trong toán học.

Chúng ta quay lại vấn đề hàm phân bố xác suất. Nhắc lại bài toán lần trước với 4 quả bóng A, B, C, D, và biến ngẫu nhiên X.

Vậy F_X(2) bằng bao nhiêu?

F_X(2) = Prob[X \nhbằng 2] = Prob[X=1 hoặc X=2] = Prob[Lấy được bóng A hoặc bóng B] = 1/2

Như vậy trong công thức này đã thể hiện hết các khái niệm từ đầu đến giờ chúng ta học phải không nhỉ.

Vậy trong trường hợp liên tục thì sao?

Giả sử xét một cây bút đặt trên mặt bàn, hệ quy chiếu là góc bàn và các cạnh bàn. Biến ngẫu nhiên \alpha là góc của cây bút theo chiều từ đuôi bút đến ngòi bút so với cạnh ngang của bàn.

Chúng ta thấy rõ ràng rằng. 0 \nhbằng \alpha < 2*Pi

Vậy F_alpha(Pi/4) = ?

F để cho các bạn tự trả lời câu hỏi này. Chúng ta sẽ thấy rằng, với biến ngẫu nhiên liên tục hay rời rạc, hoàn toàn nó không phải là vấn đề với định nghĩa này.

4.4. Hàm mật độ xác suất

Định nghĩa:

f_X(\theta) là đạo hàm của hàm phân bố xác suất theo \theta, hay có thể viết

f_X(\theta) = dF_X(\theta) / d(\theta) ~ Prob[X=\theta]

Các bạn có thể chứng minh dấu ~ này được không?

và chứng minh f_X(\theta) \thuộc [0;1]?

Khi nào có thời gian vẽ hình, F sẽ đưa các hình ảnh lên cho các bạn xem.

Thực ra, F rất băn khoăn khi chỉ giới hạn nói đến đây thôi có được không? Bởi vì muốn giải thích thật rõ lắm, nhưng nếu giải thích rõ thì sẽ rất mất nhiều thời gian. Chính vì vậy, thôi thì F cứ để nó đơn giản, chỉ là khái niệm, và các bạn chịu khó đọc sách về phần này. F sẽ đi thật chậm thôi.

Học xác suất thống kê, quan trọng nhất là hiểu được ý nghĩa vật lý của nó, thì khi đó nói đến vấn đề gì, khái niệm gì, chúng ta hình dung ra ngay. F tránh dùng thời gian của mình để phân tích những điểm này, vì bây giờ đơn giản, phân tích ý nghĩa vật lý còn dễ, sau đến lúc khó lên, chính F cũng phải hình dung phức tạp. Lúc đó giải thích ra không được tốt cho mọi ngừơi. Mà như vậy, thì các bài viết nó thiếu tính nhất quán.

F cũng tránh viết giải thích, bởi vì kiểu giải thích của F về xác suất thống kê, và hiểu về nó, nhiều người bạn của F cũng nghĩ rằng F suy nghĩ quá phức tạp, trong khi với F cái phức tạp đó lại quá đơn giản theo cách nghĩ của F...

Tóm lại, nếu các bạn quyết định theo khoá học này, F nghĩ các bạn nên cố gắng dành thời gian để trao đổi thêm với nhau, và đọc sách để có thể hiểu được những vấn đề F nói một cách quá vắn tắt như thế này.

Chúc vui.

[falleaf]

4.5. Phân bố đơn vị

Phần này chẳng có gì đặc biệt, các bạn đọc thêm tài liệu ở các sách như cuốn F đã giới thiệu

4.6. Phân bố Gauss và phân bố chuẩn

Đây là vấn đề cần nhắc lại, nhưng vị nhắc cái đoạn này thì nó mất thời gian vẽ lại hình, cho nên F tạm thời không vẽ lại hình, F chỉ đưa ra lại công thức để nhắc lại thôi. Nếu có bạn nào cũng tham gia đọc theo tài liệu này, mong các bạn dành thời gian viết một vài điều về phân bố Gauss ở đây dùm F cái.

f_X(x) = \frac{1}{sqrt{2*\pi}*\sigma}exp(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-m_x)^2)


Trong đó ký hiệu \frac{tử số}{mẫu số} = tử số / mẫu số

4.7. Trung bình

E(X) = \bar X (X gạch trên đầu) =~ (dấu bằng hình thức) \int_{-\inf}^{+\inf}{x*f_X(x)dx}

trong đó \inf = dấu vô cùng, đây là tích phân từ trừ vô cùng đến cộng vô cùng của tích x*f_X(x)

Bây giờ, chúng ta xem một thí dụ sau, trong một cái hộp kín, có 2 trái banh, tìm trung bình của số lần bốc được trái banh A.

Như vậy nếu chúng ta bốc trái banh ra 100 lần, có phải là chúng ta sẽ có

E = 1/100 (X(1) + X(2) + ... X(100))

Trong đó X(i) = 1 nếu như bốc được banh A, và X(i) = 0 nếu bốc được banh B.

Điều này không có gì lạ. Nhưng với quy luật ngẫu nhiên vừa rồi, thì có phải nếu chúng ta bốc 1000 lần, 100000000000...0000 lần, thì kết quả E sẽ tiến gần đến 1/2 phải vậy không?

Như vậy, có nghĩa là cái dấu =~ (bằng hình thức) ở công thức trên nói với chúng ta rằng, nếu như số lần lấy mẫu tiến ra vô cùng, thì xác suất mới có giá trị đúng.

Và F có một cái câu rất hay nói ngoài miệng khi quyết định một cái chuyện gì đó rằng: "Xác suất chỉ có ý nghĩa khi nó tiến ra vô cùng" để khẳng định rằng, mọi việc F làm ngày hôm nay đều đúng, bởi vì rằng khi quyết định làm gì, chúng ta chỉ có thể quyết định một lần. Chỉ khi nào nói rằng quyết định của chúng ta là đúng hay sai khi chúng ta có thể quyết định nhiều lần và quan sát được nó. Nhưng thời gian không cho phép quyết định được lặp lại, cho nên, nếu như đã có ý quyết định, thì hãy tin rằng mình quyết định đúng, bởi vì quyết định một lần, không bao giờ có khái niệm đúng hay là sai...

Hơi triết lý một chút, nhưng chúng ta tiếp tục vấn đề.

Chứng mình trung bình E[X] của phân phối chuẩn -1<= X <=1 là bằng 0

Chứng minh như sau:

E[X] = \int_{-1}^1{x*f_X(x)dx} = \int_{-1}^1{x*1/2dx}
=1/2*(1/2*x^2)|-1..1 = 0

Oki, như vậy, để bữa nào F vẽ cái hình phân bố chuẩn hay Gaussian lại cho các bạn xem. Thì các bạn sẽ thấy nó đối xứng, và nếu như nó đối xứng qua điểm 0 thì trung bình của nó phải là 0.

Oki, tạm dừng ở đây, các bạn về đọc tiếp nội dung của xác suất thống kê nhé... Thiệt tình phần này nếu viết thì dài, mà không viết thì không được, nên chỉ lướt lướt qua những điểm cần ôn và chú ý, chứ không thể đi hết được.

Chúc vui.

[falleaf]

4.8. Variance

Var X = E[(X-E[X])^2] = E[X^2 - 2X*E[X] + E[X]^2]

= E[X^2] - 2E[X*E[X]] + E[E[X]^2]

Vì E(X) là hằng số, cho nên ta có thể rút ra ngoài hàm trung bình, và chúng ta có:

Var X = E[X^2] - E[X]^2

Lại tạm dừng ở đây, các bạn tiếp tục đọc thêm về phần Variance này trong cuốn sách mà F đã giới thiệu

"Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" - Trần Tuấn Điệp & Lý Hoàng Tú

Xin nhắc lại đây là cuốn sách rất rất hay về xác suất thống kê ở Việt Nam mà F được biết đến. Các cuốn sách khác F cũng có xem qua bằng tiếng Việt, nhưng không thấy hài lòng cho lắm.

Chúc vui.

[falleaf]

Bài tập 1:

Cho X là một biến ngẫn nhiên có phân bố đơn vị, và X nằm trong đoạn [0;1]. Tìm trung bình và Variance của X?

Đây là một bài tập rất đơn giản để các bạn hiểu rõ về trung bình và variance. Các bài tập tương tự có trong các sách mà F đã đề cập, vì vậy các bạn cố gắng làm thật nhiều bài tập để nắm rõ những khái niệm xác suất thống kê này. Khi chúng ta đi tới phần mạch lọc, sẽ rất khó khăn nếu các bạn không nắm rõ được những khái niệm này.

Một mặt vì F không có sách tiếng Việt, nên cũng hơi khó trình bày vì không còn nhớ từ ngữ chính xác bằng tiếng Việt, hơn nữa việc giảng về xác suất thống kê F cũng không có nhiều kinh nghiệm.

Để tìm hiểu về xác suất thống kê, có lẽ các bạn ở BK HCM nên xin học một lớp của thầy ThS. Cao Hào Thi (khoa Quản Lý Công Nghiệp), bất kể là thỉnh giảng hay có lớp chính thức... F không nắm thông tin này, nhưng có lẽ F được học với thầy 1 môn Xác suất thống kê, hồi quy và ra quyết định bằng phương pháp định lượng.. đây là một trong những môn học hay nhất mà F được học tại BK HCM. Đó là một điều may mắn lớn.

Thầy Cao Hào Thi có dịch lại cuốn sách xác suất thống kê dùng trong kinh tế, một cuốn sách khá dày, và các sinh viên PFIEV tại BK HCM có photo lại để học, phải nói cuốn sách này là một cuốn sách rất rất hay. Các bạn cố gắng tìm đọc và tham khảo.

Chúc vui.

[ami]

Bộ lọc Kalman có thể tham khảo một cách đơn giản hơn với tài liệu này:
http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/index.html

http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

Tui đã dịch sang tiếng Việt bộ lọc Kalman, xin hẹn gửi cho quý vị vào cuối tuần này.

Ngoại ra, có thể tham khảo source code bô lọc Kalman áp dụng cho PIC trong báo cáo luận văn Mr.Scooter.

Chào cả nhà.

[ami]

Theo ý kiến của mình, xin đổi một tí trong bài của falleaf như sau:

Bài 4:
Nhiễu : gồm 2 loại là nhiễu tiến trình và nhiễu đo. Falleaf mới nói nhiễu đo, chưa đề cập nhiễu tiến trình. Đo tương quan của nhiễu tiến trình lại khó hơn nhiều so với nhiễu đo (bời thong số nhiễu đo có trên cảm biến). Ngoài ra có một dạng nữa là nhiễu đo trong tiến trình, noí cách khác nhiễu này chĩ xảy ra khi áp dụng cảm biến vào toàn bộ hệ thống, chứ caliber đơn cảm biến sẽ không nhận ra được.




4.8
Và F có một cái câu rất hay nói ngoài miệng khi quyết định một cái chuyện gì đó rằng: "Xác suất chỉ có ý nghĩa khi nó tiến ra vô cùng" : không chính xác vì nếu chọn một lượng mẫu phù hợp cho một đại lượng phụ hợp với một độ chính xác chấp nhận được (80% hay 95%), ta vẫn có thể xác định được chứ không cần phải tiến ra vô cùng.

[hoangminh1234]

trong luận văn segway anh ami đã áp dụng bộ lọc kalman tốt thật. Phần lý thuyết anh nói nhanh quá nên phải đọc thêm mới biết ảnh nói gì